각도를 표현하는 단위 라디안(radian)
디그리
일반적으로 처음 각도를 배울 때 0 ~ 360도로 각도를 표현하는 방법을 배웁니다.
여기서 도 가 디그리(degree) 입니다. 즉 디그리는 각도를 표현하는 단위입니다.
라디안
디그리 단위 말고 각도를 표현하는 또 다른 방식이 있는데, 바로 라디안입니다.
단위원1에서 둘레를 반지름인 1만큼 이동한 지점이 바로 1라디안 입니다.
즉 라디안은 호의 길이와 반지름의 관계로 각도를 측정하는 방식입니다.
원의 둘레
단위원에서 1 라디안의 호의 길이는 1의 값을 가집니다.
그럼 반원(180도)의 둘레의 길이는 어떻게 될까요? 바로 $\pi$ 값을 가지게 됩니다. 따라서 $\pi$ 라디안으로 각도를 표현할 수 있습니다.
반원이 $\pi$ 라디안이니까 원은 $2\pi$ 라디안 이 됩니다.
- 단위원에서 1라디안의 각도를 가진 호는 길이는 1
- 단위원에서 $\pi$ 라디안의 각도를 가진 호의 길이는 $\pi$ (반원)
- 단위원에서 $2\pi$ 라디안의 각도를 가진 호의 길이는 $2\pi$ (원)
단위원이 아닌 원의 둘레
단위원이 아닌 경우 라디안 각도와 호의 길이의 관계는 어떻게 될까요?
단위원에서 반지름이 1이니까 여기에 임의의 $r$ 값을 곱하면 다음과 같이 됩니다.
- 반지름이 $r$인 원에서 1라디안의 각도를 가진 호는 길이는 $r$
- 반지름이 $r$인 원에서 $\pi$ 라디안의 각도를 가진 호의 길이는 $\pi \times r$ (반원)
- 반지름이 $r$인 원에서 $2\pi$ 라디안의 각도를 가진 호의 길이는 $2\pi \times r$ (원)
따라서 원의 둘레를 구할 때 $2 \pi r$ 을 사용하는 것입니다.
란디안과 디그리의 단위 변환
라디안와 디그리 단위가 같이 사용되는 경우 직관적으로 계산하기가 어렵습니다.
\[1rad + 45^\circ = ~?\]그러면 하나의 단위로 변환해 줄 필요가 있습니다.
위에서 공부한 내용에 따르면
$\pi$ 라디안 = 180 도 $2\pi$ 라디안 = 360 도
입니다.
그럼 1도를 라디안으로 표현하면 얼마일까요?
\[\begin{align} \pi ~rad & = 180^\circ \\ \pi ~rad / 180 & = 180^\circ / 180 \\ \pi ~rad / 180 & = 1^\circ \\ 1^\circ & = \pi / 180 ~rad \end{align}\]1도는 $\pi / 180 ~rad$ 값을 가집니다.
따라서 디그리 -> 라디안으로 변환을 할 땐
\[x^\circ \times \frac{\pi}{180} = y ~rad\]$\pi / 180$ 을 곱해주면 됩니다.
반대로 라디안 -> 디그리로 변환을 할 땐
\[x ~rad \times \frac{180}{\pi}=y^\circ\]$180 / \pi$ 을 곱해주면 됩니다.
정리
- 디그리에 $\pi / 180$ 값을 곱하면 라디안 값이 됩니다.
- 라디안에 $180 / \pi$ 값을 곱하면 디그리 값이 됩니다.
반지름이 1인 원 ↩︎